Não é verdade que o juro seja uma invenção da era moderna. Rebobinando-se o fio do tempo encontram-se traços de sua existência desde a antiga Mesopotâmia, hoje Iraque. Os papiros Rhind (ou Ahmés, ou Ahmes) e Moscou (ou Golenischev), respectivamente de 1650 a.C. e 1850 a.C., apresentam alguns traços marcantes de sua existência .
A história nos conta que o papiro Rhind foi adquirido no Egito pelo egiptólogo escocês A. Henry Rhind e mais tarde conquistado pelo Museu Britânico; faltava-lhe, porém, uma parte central. Quatro anos após Rhind ter adquirido seu papiro, o egiptólogo americano Edwin Smith comprou no Egito o que pensou ser um papiro referente à medicina. Esta aquisição de Smith foi doada à Sociedade Histórica de Nova York em 1932, quando os especialistas descobriram, “sob uma camada fraudulenta”, que se tratava da parte faltante do papiro Rhind. A Sociedade de Nova York, então, doou o rolo de pergaminho ao Museu Britânico, completando-se, assim, todo o trabalho de cópia do egípcio Ahmés, publicado em 1927.
Quanto ao papiro Moscou, ele foi adquirido no Egito, em 1893, pelo colecionador russo Golenischev e publicado em 1930. Hoje se encontra no Museu de Belas-Artes de Moscou.
Algumas outras evidências históricas dos rudimentos desse juro são encontradas em outras coleções... Há tábulas nas coleções particulares de Berlim, Yale, Istambul e Louvre, por exemplo, que contêm problemas até mesmo sobre juro composto. Sim, juro composto...! Em certa tábula da coleção do Museu do Louvre, Paris, de cerca de 1700 a.C., há o seguinte problema:
“a) Por quanto tempo deve-se aplicar certa soma de dinheiro a juro composto anuais de 20% para que ela dobre? Resolva esse problema por métodos modernos;
b) Resolva o problema “a” primeiro encontrando (1,2)^3 e (1,2)^4 e então, por interpolação linear, determinando “x” tal que (1,2)^x = 2 (em que o símbolo "^" representa exponenciação!). Mostre que o resultado assim obtido está em concordância com a solução babilônica 3, 47, 13, 20 (expressa sexagesimalmente) do problema“.
Impressiona a atualidade dessa milenar proposição financeira!
Essa referência à “solução babilônica“ traduz que o regime de juro composto já era cientificamente conhecido e desde há muito estudado e divulgado. Como se vê, as preocupações negociais da sociedade moderna não é privilégio de nossos dias, como pode parecer à primeira vista.
Acredite-se ou não, a solução comumente utilizada para esse problema da coleção particular do Louvre, se dá com a aplicação de logaritmo, só inventado muito mais tarde.
Em 1544, Michel Stifel (1486/1567) publicou na Alemanha uma obra intitulada “Arithmetica Integra” em que salienta as vantagens de se associar uma PA (progressão aritmética) a uma PG (progressão geométrica), prenunciando, assim, em quase um século, a invenção do moderno logaritmo. A bem da verdade, o mundo só teve conhecimento do logaritmo quando John Napier (1550/1617) publicou, em 1614, a “Descrição da maravilhosa lei dos logaritmos”.
Tecnicamente, falar de taxa de juro simples é o mesmo que falar da razão da PA, tanto quanto de taxa de juro composto é falar da razão da PG! Ou seja, prova-se que o juro simples é geometricamente representado por uma simples reta, tão mais inclinada quanto maior seja o calibre desse juro, enquanto que o juro composto descreve uma curva logarítmica, também conhecida por curva exponencial. Não é à toa que esse juro composto possui a fama que tem, de juro exponencial!
Dada à evolução sofrida pelos cálculos, sobretudo os financeiro e atuarial, de nosso particular interesse, é possível afirmar que as fórmulas, os modelos, os construtos, como também são chamados, o instrumental matemático enfim, observados nos regimes de juro conhecidos, simples e composto, estão basicamente atrelados à estrutura formal das progressões, as mesmas progressões aritmética e geométrica estudadas nas escolas secundárias do país e do mundo. A partir daí, a evolução acadêmica cuidou de transformá-las nesse sofisticado cálculo financeiro que se vê praticado, em escala planetária, diga-se de passagem, no dia-a-dia.
Afirma-se, pois, que o velho juro é ancestral ao convívio humano!
Então, um dos objetivos desse texto é mostrar ao leitor que o fenômeno dos juros praticados no planeta pode ser conhecido, entendido, através de outras áreas de conhecimento, como a economia, matemática aplicada à estatística e ao cálculo atuarial, apenas para citar algumas...
Aqui será enfatizado que os regimes de juro conhecidos e praticados sem qualquer cerimônia, são passíveis de serem observados através do instrumental das progressões aritmética (PA) e geométrica (PG). E é só!
2 – BREVES COMENTÁRIOS SOBRE OS FENÔMENOS DA 'VALORIZAÇÃO' E DA 'RENTABILIDADE'
O uso do instrumental matemático para avaliar as transformações sofridas pelos investimentos praticados pelas pessoas físicas e jurídicas, desde sua aplicação original até o correspondente resgate, constitui um campo de estudos usualmente denominado de cálculo financeiro, representado por métodos e conceitos oriundos de várias áreas do conhecimento científico.
Por que aplicar, investir, aportar recursos financeiros, às vezes chamado de capital...? Eis a questão...! Do ponto de vista do investidor, a aplicação de recursos financeiros traria, no mínimo, como consequência imediata, repercussões em três níveis de gestão: estratégico, tático e operacional.
1 – Estratégico – a aplicação deveria gerar alguma vantagem estimulante...;
2 – Tático – convém que a aplicação seja consequência de avaliação prévia, que compense esse episódico sacrifício de recursos escassos;
3 – Operacional – as metodologias adotadas na avaliação deveriam conduzir a decisão de investir, aplicar, no que representasse a melhor chance de acerto.
No âmbito desse texto, desse roteiro, desse ensaio enfim, o cálculo financeiro será utilizado como reflexo do instrumental de avaliação criado e disponibilizado ao longo do tempo pela ciência, dado que, à priori, não há intenção de investimento sem que haja, antes, a expectativa de sucesso, ganhos futuros.
É de se esperar, pois, que ao cálculo financeiro coubesse a árdua tarefa de quantificar essa expectativa de ganho futuro, senão também de avaliar as correções dos, eventuais, desvios sofridos pelo ganho, lucro, benefício, proveito, vantagem, favorecimento, como preferir, sobretudo quando esse ganho for inferior ao esperado, estimado.
Convém desde logo dizer que os estudos da valorização patrimonial e da rentabilidade conquistada por essa valorização num dado período finito de tempo, não estariam voltados para os demais aspectos que, também, revelariam a avaliação de outros fenômenos, como “risco”, “interesse”, “conveniência”...
A herança científica propõe que a rentabilidade seja expressão de dois elementos distintos e singulares:
1 – A forma percentual (“%”) – que simboliza a medida do retorno obtido no tempo, através de certo montante de recursos financeiros originalmente investido, aplicado, aportado, também conhecido como capital, capital integralizado...
2 – A dimensão temporal (“ao ano – a.a.”, “ao mês – a.m.”...) – responsável por explicitar o período em que se dá a valorização do capital originalmente investido, aportado, integralizado, em que estaria exposto, vulnerável, ao risco de não resultar em ganhos estimulantes.
Apressa-se em dizer que a rentabilidade é usualmente encarada como sendo o retorno obtido pela aplicação, no tempo, de determinada quantidade de recursos financeiros.
Imagine, leitor, que o ciclo operacional (C.O.) de determinada indústria fosse representado da seguinte forma:
Em que:
Co = Capital originalmente integralizado, aplicado, investido, aportado;
I = Investimento efetivo;
P = Produção; sacrifício de riquezas;
V = Vendas; expectativa de retorno;
Cn = Recursos resultantes da venda da produçãos; realização, cristalização, materialização do lucro esperado...;
L = Lucro = Cn – Co.
Imagine que as etapas desse C.O. possuíssem os seguintes valores:
Co = $100;
I = $110;
P = $90;
V = $150;
Cn = $150;
L = $150 – $100 = $50.
Suponha, ainda, que esse mesmo C.O. tenha se concretizado em 30 dias corridos, e que cada etapa teve a duração de 10 dias corridos. Como se deu a “valorização” e a “rentabilidade” desse C.O.?
Em vista disso, tornou-se possível traçar as “curvas” de valorização e rentabilidade, referentes a esse C.O. sob observação.
Graficamente:
Implica dizer que a “curva” de valorização do capital inicialmente investido, aplicado, aportado, integralizado, frise-se, com os respectivos ganhos e perdas acumulados no período, seria passível de ser substituída por outra curva (exponencial, logarítmica, como é também conhecida), no caso, perfeitamente capacitada para traduzir os mesmos ganhos conquistados em cada período, em cada etapa desse C.O.: de equivalentes 14,47% conquistados a cada 10 dias corridos, no caso.
À guisa de exemplificação, eis algumas questões observadas no dia-a-dia negocial:
1 - Como exprimir a valorização e a rentabilidade de um investimento de valor igual a $50, investido há 2 meses e resgatado por $75?
Valorização patrimonial = [(75 ÷ 50) -1] x 100 = 50%;
Rentabilidade = valorização no período = [(75 ÷ 50) - 1] x 100
Rentabilidade = 50% a.2m., que equivale a 22,47449% a.m.!
2 – Como exprimir a valorização e a rentabilidade de um comerciante que comprou mercadorias no valor de $160, adquiridas da seguinte forma:
Fornecedor “A” - $60, à vista, comprada há 90dias...;
Fornecedor “B” - $25, à vista, comprada há 60 dias...;
Fornecedor “C” - $75, à vista, comprada há 30 dias...
Considerando que esse comerciante pretende rentabilizar seu negócio em 20%, por quanto deveria vender seu estoque, “hoje”, à vista?
Cálculo da valorização do estoque:
Fornecedor “A”:
$60 x (20% de $60) = $60 x 1,20 = $72,00
$73,... x 1,20 = $86,40
$86,40 x 1,20 = $103,68.
Fornecedor “B”:
$25 x (20% de $25) = $25 x 1,20 = $30
$30,... x 1,20 = $36.
Fornecedor “C”:
$75 x (20% de $75) = $75 x 1,20 = $90.
Portanto, o estoque valeria “hoje”:
$103,68 + $36 + $90 = $229,68.
A solução desse caso poderia trilhar outro caminho, utilizando a mesma taxa de retorno anterior... Com o auxílio da calculadora financeira, encontra-se:
Valor esperado no momento “60”:
60 enter
20% +
25 +
Visor = 97
Valor esperado em “30”:
Visor = 97
20% +
75 +
Visor = 191,40
Valor esperado em “0”:
Visor = 191,40
20% +
Visor = 229,68 → como demonstrado...
Traduzindo em miúdos:
Valor contábil = $60 + $25 + $75 = $160
Valor financeiro = $191,40
Valorização esperada = $191,40 - $160 = $31,40
Rentabilidade esperada = 20% a.p.
3 - Como exprimir a valorização e a rentabilidade de um negociante que adquiriu mercadorias para revenda no valor de $100, esperando vendê-la em 30 dias corridos, à vista, por $140?
Nesse caso, fica fácil concluir que a expectativa de rentabilidade e valorização patrimonial desse comerciante é de 40% em 30 dias (40% a.30d.):
[(140 ÷ 100) -1] x 100 = 40% a.p.; no caso, esse período “p” é de 30 dias corridos.
4 – Certo industrial investiu $300.000,00 ($300 M) na aquisição de uma fábrica... “Hoje”, após apurado o Balanço Patrimonial etc., constatou-se a existência de um Patrimônio Líquido (PL) de $1500 M, cristalizando uma valorização de 25% acima do esperado. Como exprimir a rentabilidade conquistada, a partir da compra dessa fábrica?
1ª Versão:
Seja “X” o valor originalmente investido.
1,25 X = $1050 M
X = $1050 M ÷ 1,25
X = $840 M
Rentabilidade = Retorno obtido no período ÷ Investimento inicial
Então:
Rentabilidade = $1050 M ÷ $300 M = 2,8
Rentabilidade = (1+ i) = 2,8
i% = (2,8 – 1) x 100 = 180% a.a. (ao ano!)
2ª Versão:
Constatou-se que o acréscimo patrimonial verificado no primeiro ano da nova gestão fabril foi de:
[$300 M + (y% de $300 M)] x 1,25 = $1050 M
$300 M x (1 + y%) x 1,25 = $1050 M
(1 + y%) = $1050 M ÷ ($300 M x 1,25)
y% = {[$1050 M ÷ ($300 M x 1,25)] - 1} x 100
y% = 180% a.a. → como não poderia deixar de ser!
3 – BREVES COMENTÁRIOS SOBRE OS REGIMES DE JURO SIMPLES E COMPOSTO, ATRAVÉS DO INSTRUMENTAL DAS PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA) E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG).
A ideia é mostrar ao leitor que há possibilidade real de se observar o regime de juro simples através do instrumental matemático adotado pela PA, bem como de espiar o juro composto através da PG. Os vínculos aí existentes são estreitos, como se verá adiante.
3.1 – A FUNÇÃO LINEAR (A Reta!)
Sem muito tecnicismo, a linearidade pode ser traduzida como sendo a evo-lução sistemática de grandezas, construída através de sucessivas adições/subtra-ções de uma constante... Nesse texto, é de bom-tom dizer que essa linearidade será formalmente observada sob a ótica da progressão aritmética (PA).
Grosso modo, a PA é entendida como uma sucessão de números, valores, grandezas, como preferir, formada pela adição/subtração de cada termo da suces-são a uma constante, denominada de razão da PA.
Então, definidas duas grandezas quaisquer, seria possível extrair um terceiro valor linearmente proporcional a essas grandezas tomadas como referência.
3.1.1 – O INSTRUMENTAL MATEMÁTICO DA “PA”
A sucessão que caracteriza a PA é usualmente apresentada da seguinte forma:
: a1. a2. a3.... a(n-1). an
Em que a1, a2, ... e an são os termos da sucessão, termos da PA enfim, e “r” é a razão dessa PA.
Consta que a PA é formalmente solucionada através dos seguintes mo-delos matemáticos:
A - O termo geral da PA é “an”:
Grosso modo, a lei de formação da PA segue o seguinte padrão: qualquer termo é igual ao anterior acrescido/subtraído da razão (r) existente entre eles.
a2 = a1 + r
a3 = a1 + 2.r
a4 = a1 + 3.r (também, que a4 = a2 + 2.r; a4 = a3 + r. E, assim, sucessivamente!)
(...)
an = a1 + (n-1).r.
B - A soma dos termos da PA é “Sn”:
Sn = (termo médio da PA) x (nº de termos da PA)
Sn = [(a1 + an)/2] x n.
Exemplo 1: Seja a seguinte PA:
: 1. 5. 9 .... 113
Qual a razão (r) dessa PA?
Utilizando o modelo do termo geral da PA, obtém-se:
an = a1 + (n-1).r
a3 = a1 + 2.r
9 = 1 + 2.r
(9 - 1) = 2.r
r = 8 ÷ 2
r = 4
Exemplo 2 – Quantos termos possui a sucessão anterior, a PA apresentada anteriormente?
Ainda utilizando o modelo do termo geral da PA, obtém-se:
an = a1 + (n-1).r
113 = 1 + (n-1) x 4
(113 - 1) ÷ 4 = (n-1)
(n -1) = (112 ÷ 4)
n = 28 + 1
n = 29
Exemplo 3: Dada a seguinte sucessão:
: (x – 1). (x + 1). (x + 3)....
Qual o vigésimo termo (a20) dessa PA?
r = (x + 3) – (x + 1)
r = x + 3 - x – 1
r = 3 – 1
r = 2
a20 = a1 + (20 – 1).r
a20 = (x – 1) + 19 x 2
a20 = (x – 1) + 38
a20 = x – 1 + 38
a20 = (x + 37)
Exemplo 4: Qual o terceiro termo da sucessão que possui “r = 7” e “a12 = 105”?
Sabe-se que:
an = a1 + [(n-1) x r]
Também:
an = a3 + (n-3).r
105 = a3 + (12 – 3).7
105 = a3 + 63
a3 = 105 – 63
a3 = 42
Exemplo 5: Calcular o primeiro termo da sucessão, que contém “a8 = 31” e “Sn = 136“.
Até prova em contrário, essa sucessão possui oito termos: a8!
Então:
Sn = [(a1 + an)/2] x n
S8 = [(a1 + 31)/2] x 8
S8 = (a1 + 31) x 4
136 = (a1 + 31) x 4
136 ÷ 4 = a1 + 31
34 = a1 + 31
a1 = 3
Exemplo 6: Tudo isso serve para resolver a seguinte questão financeira observada no dia-a-dia negocial:
Uma instituição financeira emprestou $50.000,00 ($50 M) para ser amortizado em parcelas iguais, sucessivas e semestrais, durante cinco anos. Esse tomador deverá pagar, adicionalmente, 10% do saldo devedor (SD), como remuneração desse negócio. Pede-se para calcular e justificar o valor total de juro pago nesse período de interesse. Caso a sucessão de pagamentos não guarde correspondência com a estrutura lógica da PA, responder “impossível justificar”.
Inicialmente, é de bom-tom dizer que a ciência informa que a categoria prestação é, por definição, um somatório de várias parcelas, constituído de “amortização do principal tomado sob empréstimo”, “juro” envolvido, “correção monetária”, “multa”, “mora”, “tarifas”, “comissões” etc...
Então:
Seja “p” a prestação = amortização do principal tomado + juros envolvidos + juro de mora + multa legalmente admitida + etc...
No caso, “p” seria o somatório de duas parcelas: amortização do principal tomado sob empréstimo e juro envolvido.
Logo:
pn = [$50 M ÷ (5 anos x 2 semestres)] + 10% do SD
pn = [$50 M ÷ 10 semestres] + 10% do SD
pn = $5 M + 10% do SD
Baseado nessa estrutura acima, encontram-se as seguintes prestações:
SDo = $50 M → p1 = 5 M + 5 M = $10 M
SD1 = $50 M – $5 M = $45 M → p2 = 5 M + 4,5 M = $9,5 M
SD2 = $45 M – $5 M = $40 M → p3 = 5 M + 4 M = $9 M
(...)
r = (p3 – p2) = (p2 – p1) = -0,5 → que caracteriza uma PA decrescente de razão (r) igual a -0,5.
Em sendo uma PA:
p10 = p1 + [(10 – 1) x r]
p10 = 10 + [9 x (-0,5)]
p10 = 10 – 4,5
p10 = 5,5
Além de:
S10 = [(p1 + p10) ÷ 2] x 10
S10 = [(10 + 5,5) ÷ 2] x 10
S10 = 7,75 x 10
S10 = 77,5
3.2 – A FUNÇÃO EXPONENCIAL (OU CURVA EXPONENCIAL, TAMBÉM CONHECIDA POR CURVA LOGARÍTMICA)
Sem muito tecnicismo, essa função representa a evolução sistemática de valores, grandezas, construída através da multiplicação/divisão de uma constan-te...
Nesse roteiro, convém dizer que a função exponencial será formalmente observada sob a ótica da tradicional progressão geométrica (PG).
Grosso modo, a PG é entendida como uma sucessão de números, valores, grandezas, como preferir, formada pela multiplicação/divisão de cada termo da sucessão por uma constante, denominada de razão da PG.
Então, definidas duas grandezas quaisquer, seria possível extrair um terceiro valor exponencialmente proporcional a essas grandezas tomadas como referência.
3.2.1 – O INSTRUMENTAL MATEMÁTICO DA “PG”.
Graficamente, a sucessão que caracteriza a PG é formalmente apresentada da seguinte forma:
:: a1: a2: a3 .....: a(n-1): an
Em que a1, a2, .... e an são os termos da sucessão, da PG enfim, e “q” é a razão dessa PG.
Admite-se que a PG é solucionada através dos seguintes modelos matemá-ticos:
A - O termo geral da PG é ”an”:
Sabe-se que a lei de formação da PG segue o seguinte padrão: qualquer termo é igual ao anterior multiplicado/dividido pela razão (q) existente entre eles.
a2 = a1 x q
a3 = a1 x q2
a4 = a1 x q3 (ou que a4 = a2 x q^2; a4 = a3 x q. E, assim, sucessivamente!
(...)
an = a1 x q^(n-1) → em que o símbolo "^" representa potenciação!
B – A soma dos termos da PG é “Sn”:
B.1 - Para q>1 (origem do estudo do juro composto, diga-se de passagem!), a soma dos termos da PG (Sn) seria resolvida através do seguinte modelo:
Sn = [(a1 x q^n) – a1] ÷ (q – 1);
B.2 - Para corrigir......)
Sabe-se que:
an = a1 x q^(n-1)→ em que o símbolo "^" representa exponenciação!
9 = 1/27 x q5
q5 = 9 x 27
q5 = 3^2 x 3^3
q5 = 3^5
q = 3
Exemplo 8: Calcular o primeiro termo (a1) de uma PG com 10 elementos, em que a razão (q) é 2 e o sétimo termo (a7) é 192.
Sabe-se que:
an = a1 x q^(n-1)
a7 = a1 x q6
192 = a1 x 2^6
3 x 2^6 = a1 x 2^6
a1 = 3
Exemplo 9: A soma dos sete primeiros termos de certa PG (S7), de razão 2, é 381.
Qual o valor do terceiro termo (a3)...?
O texto informa que a razão (q) dessa PG é maior que a unidade: 2!
Logo, sendo q>1:
Sn = [(a1 x q^n) – a1] ÷ (q - 1) → em que o símbolo "^" representa exponenciação!
381 = [(a1 x 2^7) – a1] ÷ (2 – 1)
381 = [a1 x (2^7 - 1)] ÷ 1
a1 = 381 ÷ (2^7 - 1)
a1 = 381 ÷ 127
a1 = 3
Então:
a3 = a1 x q^2 = 3 x 2^2
a3 = 12
Exemplo 10: Quantos termos tem a seguinte PG:
:: 1/16: 1/8: 1/4:...: 64.
Por ser uma PG:
q = a2 ÷ a1 = 1/8 ÷ 1/16 = 2
Então:
an = a1 x q^(n-1) → em que o símbolo "^" representa exponenciação!
64 = 1/16 x 2^(n-1)
1024 = 2^(n-1)
log 1024 = (n-1) x log 2
(n-1) = log 1024 ÷ log 2
n = (log 1024 ÷ log 2) +1
n = (6,93 ÷ 0,69) + 1
n = 10 + 1
n = 11 termos...
Exemplo 11: Tudo isso serve para resolver a seguinte questão financeira, observada no dia-a-dia negocial:
Suponha que os pagamentos daquele exemplo 6 variassem segundo uma PG, e que há curiosidade quanto à rentabilidade conquistada pela instituição financeira, paga pelo tomador do empréstimo.
As duas situações práticas que representariam a solução dessa questão seriam retratadas, unicamente, pela razão da PG quando maior que a unidade (q>1), senão quando menor que a unidade...
À guisa de exemplificação, toma-se a seguinte PG:
:: 24: 12: 6: 3: ..., em que a razão (q) = 12 ÷ 24 = 0,5
Pela ótica financeira:
q = (1+ i) = 0,5 → a razão da PG se confunde com a expressão geral da rentabilidade conquistada em certo período finito de tempo, “(1+i)^n”, em que “i” seria o juro remuneratório praticado e “n” igual ao número de períodos de formação desse juro; um único período, no caso!
(1+ i) = 0,5
i = 0,5 – 1
i = -0,5 (juro negativo, juro subsidiado...!).
O que aconteceria se invertesse a ordem dessa sucessão, dessa PG...?
:: ...: 3: 6: 12: 24.
Nesse caso, a razão da PG seria:
q = 24 ÷ 12 = 2
Pela ótica financeira:
q = (1+i) = 2 → a razão da PG se confunde com a própria expressão da rentabilidade.
(1 + i) = 2
i = 2 – 1
i = 1
Constata-se que a simples inversão da ordem de apresentação da PG, foi bastante para transformar a taxa de juro, antes negativa, em positiva.
Caberia, então, a pergunta: toda rentabilidade que se apresenta numericamente negativa é interpretada, financeiramente, como negativa? O que estaria por trás desse fenômeno é a interpretação da rentabilidade, no caso, quando resultante das duas alternativas disponíveis: PG crescente (q>1) e decrescente...
Como proposto, retoma-se o caminho daquele recorrente exercício 6:
Alternativa 1:
p1 = 10
p10 = 5,5
S10 = 77,5
Em que:
q = 5,5 ÷ 10 = 0,55
Pela ótica financeira:
q = (1+ i) = 0,55 → a razão da PG se confunde com a rentabilidade...
i = 0,55 – 1 = -0,45
Como se vê, essa sucessão é típica de uma PG decrescente:
p1 = 5,5
p10 = 10
S10 = ?
Nesse caso:
p10 = p1 x q9
10 = 5,5 x q9
q = (10 ÷ 5,5)^(1/9) → em que o símbolo "^" representa exponenciação!
q = 1,06868
Pela ótica financeira:
q = (1+i) = 1,06868
(1 + i) = 1,06868
i = 1,06868 – 1
i% = (1,06868 - 1) x 100
i = 6,868% a.10m.
Qual a soma dos termos dessa PG?
S10 = [(a1 x q^10) – a1] ÷ (q – 1) → em que o símbolo "^" representa exponenciação!
S10 = [(5,5 x 1,06868^10) – 5,5] ÷ 0,06868
S10 = $75,5
Qual a valorização patrimonial então conquistada?
$75,5 ÷ $50 = 51,04%, no período de 10 meses.
Qual a rentabilidade conquistada pela instituição financeira?
De 6,868% a.10m. (6,87% ...)
Mostrou-se, então, através dos exercícios 6 e 11, que há, mesmo, uma íntima relação operacional entre as progressões aritmética e geométrica com os regimes de juros conhecidos e estudados nos centros de excelência acadêmicos espalhados pelo mundo. Não pára aí!
Ao tomar emprestado o que encontrou de interessante em outras áreas do conhecimento científico, a teoria financeira criou caminhos e atalhos próprios, singulares mesmo... Prova disso é a existência do sofisticado cálculo financeiro de nossos dias.
4 – BREVES COMENTÁRIOS SOBRE OS VENCIMENTOS DAS OPERAÇÕES BANCÁRIAS ATIVAS (RECEBIMENTOS) E PASSIVAS (PAGAMENTOS)
Grosso modo, a estratégia operacional adotada pelas instituições-membros do SFN é a seguinte:
4.1 - OPERAÇÕES ATIVAS (Receitas, recebimentos...)
A instituição financeira evita receber seus direitos e haveres na 6ª feira, preferindo fazê-lo no dia útil mais próximo desse vencimento. O porquê disso? Como a taxa de juro praticada nas aplicações é maior que a taxa contratada quando da captação desses recursos tomados sob empréstimo/financiamento, a transferência desse vencimento para a próxima “2ª feira” evitaria a perda de receita desse final de semana; no mínimo, da receita de mais um dia...!
4.2 - OPERAÇÕES PASSIVAS (Despesas, pagamentos...):
A julgar pelo exposto, fica fácil entender o real motivo de as instituições-membros do SFN priorizarem seus pagamentos, resgates de títulos de crédito de sua emissão (LC, CDB, RDB etc.), entre outros, nas 6ª feiras. Com isso, a conquistam para si, e tão-somente para si, uma receita extra obtida dessa flutuação (floating) de mais um dia; frise-se, a custo zero, ínfimo...!
A ideia é, sempre, obter receita, de floating ou não, ao menor custo operacional possível!
5 - BREVES COMENTÁRIOS SOBRE AS OPERAÇÕES DE “JURO” E DE “DESCONTO” BANCÁRIOS
5.1 – OPERAÇÕES FINANCEIRAS ENVOLVENDO “JURO REMUNERATÓRIO”
O juro pode ser entendido como um aluguel pago pela utilização de recursos de terceiros, de outrem, durante um período finito de tempo, a exemplo do aluguel de imóvel alheio...
Certamente que existem outros conceitos mais bem elaborados sobre o juro remuneratório, que no frigir dos ovos resultam nessa mesma imagem do episódico aluguel de recursos alheios, pertencentes ou explorados comercialmente por outrem...
Regra geral, admite-se que o juro seja pago após a utilização temporária dos recursos tomados sob empréstimo/financiamento, e tão-somente então, não obstante saibamos da existência de circunstâncias exigindo o pagamento antecipado de encargos (na frente, na "cabeça", como se diz). O porquê disso...? O uso desse artifício, do pagamento antecipado de encargos, resulta numa receita maior...
5.1.1 – OPERAÇÕES FINANCEIRAS ENVOLVENDO “JURO SIMPLES”.
Grosso modo, o mercado financeiro pratica o juro simples quando o período de pagamento é menor, inferior, fração enfim, do período expresso pela taxa de juro contratada. Há um descasamento de prazos, como se diz...; fracionário, no caso!
Implica dizer que um contrato de empréstimo/financiamento que esteja suportado por uma taxa de juro anual, expressa “ao ano”, com juros formados a cada período de 12 meses, contendo parcelas pagas mensalmente, vencíveis a cada 30 dias, com periodicidade de pagamento mensal (fração daquele período “anual”, no caso, expresso pela taxa contratada), a praxe é subordiná-lo à prática de juro simples (PA!)... O porquê disso será mostrado adiante, nos CASOS...
Nesse particular, o instrumental matemático adotado pelo regime de juro simples é o seguinte:
A – PARA CÁLCULO DO JURO REMUNERATÓRIO
Por definição:
J = Co.i.n
Em que:
J = valor do juro devido ao investimento inicial;
Co = valor do investimento inicial;
i = taxa de juro contratada, para quantificar a remuneração do capital integralizado, do investimento inicial, do risco incorrido nesse período contratado (e não em qualquer outro prazo...);
n = número de períodos de aplicação da taxa de juro contratada; prazo da operação, como se diz.
B – PARA CÁLCULO DO MONTANTE (VALOR DE RESGATE DO INVESTIMENTO INICIAL)
Por definição:
M = Co + J
Em que:
M = montante; valor de resgate do capital integralizado, do investimento inicial, do aporte financeiro;
Co = investimento inicial integralizado;
J = valor do juro devido ao investimento inicial.
Por extensão:
M = Cn = Co + J
Cn = Co + Co.i.n
Cn = Co x (1 + i.n) → expressão do termo geral do juro simples!
5.1.2 – OPERAÇÕES FINANCEIRAS ENVOLVENDO JURO COMPOSTO
Quando o descasamento de tempo é igual ou superior ao período expresso pela taxa contratada, múltiplo desse mesmo período, a praxe do mercado é praticar o juro composto (PG!), mesmo que a contragosto do acervo regulatório da República, ou de quem quer que seja.
Antes de prosseguir com os pedagógicos exemplos de fixação conceitual do regime de juro composto, a exemplo do que se fez acima com o juro simples, é de bom-tom fazer alguns breves comentários sobre o motivo de as instituições financeiras adotarem, como praxe, ora a prática do regime de juros simples, ora do juro composto. Apressa-se em dizer que não se trata de as instituições-membros do SFN serem boazinhas, ou patrióticas, como pode parecer à primeira vista, ao leigo entender.
Abre-se o parêntese...!
Tecnicamente, e ao contrário do que se pensa e se sabe, o regime de juro simples, que não se confundirá com simplório, é bem de ver, pode se tornar mais perverso, gravoso, que qualquer outro regime de juro conhecido e estudado no mundo, mesmo que a contragosto dos incrédulos... Eis, pois, o motivo de as instituições financeiras preferirem, sob certas condições, a prática do juro simples ao juro composto. Quais seriam essas circunstâncias...?
Espera-se que o gráfico abaixo desmistifique, oxalá de vez por todas, essa confusão de que se fala... No frigir dos ovos, a ideia seria mostrar ao leitor que essa perversidade é própria do fenômeno “juro”, do “sistema juro”, como preferir, qualquer que seja o regime então adotado, simples ou composto. Dependendo das circunstâncias envolvidas, um deles seria preferível ao outro. Mas ambos são essencialmente vampirescos...! E é só!
Repare que existe três áreas de interesse, cada qual representada pelo respectivo ponto: 1, 2 e 3.
O ponto “2”, fronteiriço, é o divisor de águas... Nele, qualquer regime de juro adotado, simples ou composto, oferecerá, sempre, o mesmo valor conquistado pelo juro, mesma receita...! É o ponto de indiferença...! Não é à toa que representa a cristalização dos dizeres do contrato, porque aí são encontrados o calibre da taxa de juro pactuada (“i%”) e o período convencionado para a formação desse juro, desse encargo: “i% a.a.”, “i% a.m.” etc...
A área à sua esquerda, representada pelo ponto “1”, possui todos os possíveis períodos fracionários para o pagamento do negócio... É o caso de se contratar uma taxa de juro expressa “ao ano”, com juro formado a cada período de 12 meses, mas contendo pagamentos “mensais”, ou “bimensais”, “semestrais”, “quinzenais”, “diários”... O mesmo aconteceria com a taxa de juro expressa “ao mês”, mensal, com formação de juro a cada trinta dias, contendo pagamentos “quinzenais”, ou “semanais”, “diários”, “a cada 10 dias úteis” etc...
Implica dizer que nesse universo em que se encontra posicionado o ponto “1”, seria praticado o juro simples, exatamente porque as receitas aí obtidas seriam as maiores possíveis... É o que informa a leitura das coordenadas desse mesmo ponto “1”: “juro simples” está posicionada acima, porque maior, do “juro composto”...
Afirma-se, pois, que nesse universo representado pelo pedagógico ponto “1”, a prática do juro simples produziria uma receita maior, sempre maior, que a produzida pelo juro composto, mesmo que o leitor não professe essa mesma fé acadêmica...
Eis, ao vivo e em cores, a perversidade do juro simples! Simplório, inofensivo, como querem alguns desavisados...? Não é o que diz a ciência!
Agora o leitor estaria mais bem capacitado para entender o porquê de certas cobranças serem feitas através do emprego do juro simples: a receita aí obtida é, nessas circunstâncias, a maior possível...!
Sobrou, então, a área representada pelo não menos pedagógico ponto “3”. No que diz respeito a esse universo, fica fácil concluir que a cobrança aí praticada, seria através do emprego do juro composto, no mínimo porque a geração de receita então produzida não teria competidores à sua altura... É o que informa a leitura das coordenadas desse mesmo ponto “3”: “juro composto” está posicionado acima do “juro simples”, porque maior...
É o caso de se contratar uma taxa de juro mensal, com formação de juro a cada trinta dias, contendo pagamentos a “cada 32 dias“, ou “bimensais”, “trimestrais”, “semestrais” etc., todos múltiplos daquele período expresso pela taxa pactuada (mensal, no caso).
O mesmo se daria quando um borderô de títulos de crédito, de duplicatas, com prazo médio de 33 dias, por exemplo, é levado pela empresa ao desconto bancário, com o fito de suprir, eventual, falta de liquidez em sua tesouraria...
A convenção praticada no mercado financeiro doméstico é, sempre, expressar a taxa de desconto “ao mês”, mensal: “d% am”. Como o prazo médio desse hipotético borderô de títulos de crédito está superior, maior, múltiplo enfim, daquele período expresso pela taxa de desconto, taxa do borderô, como é também tratada, sabidamente mensal, o preço desse negócio será medido, acredite-se ou não, por juro composto. Fosse de “25" dias, o preço seria medido por juro simples. Fosse de “30” dias, seria indiferente, já que o resultado seria o mesmo...
E, assim, sucessivamente!
Um breve parêntese... Uma dieta de engorda praticada pelo mercado financeiro doméstico, diz respeito à capitalização do juro simples... Viu-se que sob certas circuntâncias o juro simples é maior que o composto. Sabedor disso, o mercado financeiro promove um ganho extra quando decide capitalizar esse gordo juro simples. Pois é...! Fecha-se o parêntese.
Nesse universo financeiro, o mais cego tem um olho só, mas é dos grandes...!
A propósito da capitalização de juro no país, da prática indiscriminada do juro composto, é de bom-tom dizer que o acervo regulatório da República só admite a capitalização de juro nos negócios com periodicidade igual ou superior a 12 meses. É o que faz crer, no mínimo, o artigo 591 do atual Código Civil, certamente ungido pelo Congresso Nacional, como convém, ao qual as instituições-membros do SFN estão, também, e irrecusavelmente, atreladas. Não é, pois, a bel-prazer do casuísmo de ocasião, como querem alguns interessados...
Fecha-se aquele parêntese...!
CASO “Cheque Especial” (produto financeiro direcionado à classe de correntistas pessoas físicas; o produto conta garantida é seu equivalente para a classe de correntistas pessoas jurídicas):
Contratou-se uma conta-corrente do tipo cheque especial, com limite de crédito automático de $50.000,00 ($50 M), suportada pela taxa de juro de 24% a.m., com juro cobrado no último dia de cada mês civil... Calcular o valor do juro cobrado no mês “x”, que apresentou o seguinte extrato de movimentação:
Vê-se que essa conta-corrente (vinculada ao produto cheque especial) aparece com saldo devedor negativo (virado, no vermelho, como se diz) a partir do dia 06, assim permanecendo até o dia 26, quando é zerada, virando novamente.
Cálculo dos juros pagos no mês ”x”:
De 06/09: $2 M x (24% a.m. x 3 d) = $48,00
De 09/14: $26 M x (0,24/30 x 5 d) = $1.040,00
De 14/22: $27 M x (0,24/30 x 8 d) = $1.728,00
De 22/26: $15 M x (0,24/30 x 4 d) = $480,00
Em 31: $42,25 M x (0,24/30 x 1 d) = $338,00
TOTAL de juros pago no mês “x”: $3.634,00
À guisa de ilustração, convém dizer que uma vez constatado que o montante de saldo médio devedor do universo de contas-correntes existente em certa instituição financeira for maior ou igual ao saldo médio credor dos depósitos à vista desse mesmo universo de contas-correntes (SMDEV ≥ SMCR), essa instituição absorverá boa parte desse saldo credor, dessa interessada liquidez a custo zero, ínfimo, para suprir os endividamentos contraídos pelos demais correntistas de seu acervo. O restante seria imantado de outros produtos igualmente baratos, senão captado no próprio mercado financeiro, através do interbancário, bem mais caro...
Caso contrário, é de se esperar que o universo de saldo médio credor dos depósitos à vista estaria financiando a totalidade do universo de saldo médio devedor dos demais correntistas, quaisquer que sejam, cheques especiais ou não; frise-se, recursos escassos tomados a custo zero, pífio...!
Não é à toa que as instituições financeiras assediam a própria clientela com diuturnas campanhas mercadológicas, temendo perdê-la para a concorrência...
O cliente, o freguês, o consumidor enfim, a joia da coroa, é a locomotiva que move o sistema capitalista de produção...!
5.2 – OPERAÇÕES FINANCEIRAS ENVOLVENDO DESCONTO BANCÁRIO (DESCONTO DE TÍTULOS DE CRÉDITO: NP, DUPLICATAS...)
Grosso modo, entende-se por desconto a antecipação de receita futura, de valores vinculados a títulos de crédito com vencimentos futuro, a exemplo das duplicatas (duplicadas das notas fiscais de venda) resultantes das vendas a prazo das empresas...
Esse adiantamento de recursos é regiamente cobrado pelas instituições financeiras detentoras de carteira comercial (cobrança etc.), senão também pelas factorings...
6 – AS INSTITUIÇÕES-MEMBROS DO SFN COMO PERMISSIONÁRIAS DE SERVIÇO PÚBLICO, DE UTILIDADE PÚBLICA, NOS MOLDES DO ARTIGO 175 DA ATUAL CONSTITUIÇÃO FEDERAL, REGULAMENTADO PELA LEI 8.987 DE 13/02/995 (DOU 14/02/95).
Um fato não cogitado pela Justiça do país, nem sequer por qualquer outro poder constituído, é que a Lei que delineou o atual contorno do SFN, Lei 4.595/64, a Lei Bancária, como é também conhecida, exige que seus seletos membros tenham prévia autorização do BACEN-Banco Central do Brasil, da autoridade monetária do país, o poder concedente, para atuar no mercado financeiro doméstico. Sendo estrangeiro, deverá comparecer munido de Decreto do Poder Executivo... É o que faz crer o vigente e irrecusável artigo 18 da Lei Bancária. Não é, pois, a bel-prazer...
Ademais, a regulamentação das concessões, permissões e autorizações para exploração comercial de serviço público no país, quaisquer e quantos sejam, está há muito determinado pela vigente Lei 8.987/95 e seus desdobramentos ao longo do tempo. Em seu artigo 13, consta sentenciado o seguinte:
“Art. 13. As tarifas poderão ser diferenciadas em função das características técnicas e dos custos específicos provenientes do atendimento aos distintos segmentos de usuários”.
No âmbito do Sistema Financeiro Nacional, o SFN, entende-se por distintos segmentos de usuários desse serviço público, as pessoas físicas, jurídicas, governo, representações diplomáticas... Implica dizer que a tarifação praticável no mercado financeiro doméstico seria diferenciada, tão-somente, em razão das “características e (não é “ou”...; são ambos...!) dos custos específicos provenientes do atendimento” a esses segmentos de usuários... Não é a bel-prazer, como se vê no dia-a-dia; pior, porque interessadamente admitido pela autoridade monetária, o que não tem sentido.
Típico casuísmo consentido, esse traço marcante de nossa cultura administrativa.
A partir do momento que a taxa de juro e a tarifação praticados no país são entendidos como preços públicos, que são, até prova em contrário, a ressonância passa a ser outra: antes do advento do atual Código Civil de 2002, vigente a partir de janeiro de 2003, houve uma crispação entre os dizeres da Lei da Usura (Decreto 22.626/33), que limitava em 12% anuais a prática de juro remuneratório no país, e da Lei Bancária, mais recente que aquela, que delegava poderes ao CMN para determinar qual seria esse "teto” do juro... Isso jamais aconteceu! Praticava-se, isto sim, a abstrata e casuísta “taxa de juro de mercado”. A bem da verdade, cada instituição membro do SFN praticava, sem qualquer cerimônia, a taxa de mercado de sua conveniência. Ainda é assim!
Essa discussão sobre o “teto” do juro foi oportunamente pacificada pela Suprema Corte do país, o STF, com a edição da elucidativa Súmula STF 596, abaixo reproduzida:
“As disposições do decreto 22.626/1933 [Lei de Usura!] não se aplicam às taxas de juros e aos outros encargos cobrados nas operações realizadas por instituições públicas ou privadas, que integram o sistema financeiro nacional”.
Repare, leitor, que seus dizeres dizem respeito à Lei de Usura! A LICC (Lei de Introdução do Código Civil) de sempre, porque ainda vigente, imantou essa decisão do STF, quando sustenta que as normas mais recentes prevalecem sobre as anteriores, sobretudo quando seus dizeres são conflituosos.
A partir daí, a Autoridade Monetária do país ficou mais bem legitimada como árbitro do mercado financeiro doméstico!
Com a vigência do atual Código Civil de 2002, mais recente que essas anteriores, todo esse discurso mudou... Seu artigo 591 determina, expressamente, que a taxa de juro praticada nos empréstimos/financiamentos firmados no país, ditos mútuos, é a mesma taxa de juro legal sentenciada pelo vizinho artigo 406, que instituiu a taxa de juro SELIC, a taxa básica da economia, como referencial máximo remuneratório. Máximo, isso mesmo, porque passível de redução...
Até que o Congresso Nacional modifique esse enredo, eis, ao vivo e em cores, o novo "teto” remuneratório do país, mesmo que a contragosto das instituições financeiras, ou de quem quer que seja. É geral...!
Antes fixados em 12% anuais, como quis a Lei de Usura, agora o juro remuneratório do país está variável, flutuando ao sabor dos interesses de captação do governo, de sua SELIC anualizada, casuisticamente produzida em função dos 252 dias úteis existentes no ano a que se refere, mas regiamente cobrada durante os 365 dias corridos do ano civil. O confisco, via SELIC....! Coisa nossa!
Cálculo financeiro, leitor, ao mesmo tempo que encobre, revela...!
Enquanto autorizadas a explorarem comercialmente a prestação de serviço público, de interesse público, as instituições-membros do SFN deverão cumprir o regramento instituído pelo artigo 175 da CF e seus desdobramentos ao longo do tempo, sob pena de experimentarem os humores da Lei.
Duro como um jejum, é praticar o nado livre em meio a esse mar revolto de contratos de adesão...
Logo abaixo encontram-se alguns contratos reais, trazidos do dia-a-dia negocial, convenientemente transformados em CASOS, para serem mais bem observados pela curiosidade do leitor: “capital de giro”, “leasing financeiro”, “desconto de NP (Nota Promissória)”, “desconto de duplicatas (vendas a prazo...)”, “financiamento de tributos”, entre outros produtos/serviços inventados pelo mercado financeiro doméstico...
É uma tentativa de mostrar aos interessados o dialeto falado por entre dentes no âmbito do Sistema Financeiro Nacional, o SFN, e a magia do cálculo financeiro, nem tão recente assim, como se supunha.
